Table des matières
Proof that 1 + 1 = 2
English Version
Introduction
The statement that \( 1 + 1 = 2 \) is a fundamental truth in arithmetic. While it seems intuitive, a rigorous proof requires a formal mathematical foundation. This proof was first systematically developed in *Principia Mathematica* by Alfred North Whitehead and Bertrand Russell.
1. Definition of 1 and 2 in Set Theory
Using Peano arithmetic, numbers can be constructed from set theory:
- \( 0 \) is defined as the empty set: \( 0 = \emptyset \)
- \( 1 \) is defined as the set containing \( 0 \): \( 1 = \{0\} \)
- \( 2 \) is defined as the set containing \( 0 \) and \( 1 \): \( 2 = \{0, 1\} \)
Addition is defined recursively using Peano’s successor function:
- The successor of \( x \), denoted \( S(x) \), is defined as \( S(x) = x + 1 \)
2. Formal Proof
Using Peano’s axioms and the definition of addition:
\[ 1 + 1 = S(1) \]
By definition, the successor of \( 1 \) is:
\[ S(1) = 2 \]
Thus, we conclude:
\[ 1 + 1 = 2 \]
Conclusion
The proof that \( 1 + 1 = 2 \) follows from the formal foundations of Peano arithmetic and set theory. Though trivial in everyday usage, this formalization is essential for rigorous mathematical logic.
Version Française
Introduction
L'affirmation que \( 1 + 1 = 2 \) est une vérité fondamentale en arithmétique. Bien que cela semble évident, une démonstration rigoureuse nécessite des bases mathématiques formelles. Cette preuve a été développée systématiquement dans les *Principia Mathematica* par Alfred North Whitehead et Bertrand Russell.
1. Définition de 1 et 2 en Théorie des Ensembles
En utilisant l'arithmétique de Peano, les nombres peuvent être construits à partir de la théorie des ensembles :
- \( 0 \) est défini comme l'ensemble vide : \( 0 = \emptyset \)
- \( 1 \) est défini comme l'ensemble contenant \( 0 \) : \( 1 = \{0\} \)
- \( 2 \) est défini comme l'ensemble contenant \( 0 \) et \( 1 \) : \( 2 = \{0, 1\} \)
L'addition est définie récursivement via la fonction successeur de Peano :
- Le successeur de \( x \), noté \( S(x) \), est défini comme \( S(x) = x + 1 \)
2. Preuve Formelle
En utilisant les axiomes de Peano et la définition de l'addition :
\[ 1 + 1 = S(1) \]
Par définition, le successeur de \( 1 \) est :
\[ S(1) = 2 \]
Ainsi, nous obtenons :
\[ 1 + 1 = 2 \]
Conclusion
La démonstration que \( 1 + 1 = 2 \) repose sur les fondements stricts de l'arithmétique de Peano et de la théorie des ensembles. Bien que trivial en usage quotidien, cette formalisation est essentielle pour la logique mathématique rigoureuse.